Как пишется правильно: ей или ею

Личное местоимение она при изменении по падежам может иметь формы ей и ею, которые служат для смысловой связи в разных по структуре словосочетаниях или частях предложения.
В разговорном стиле и просторечии форму творительного падежа ею нередко заменяют формой дательного падежа ей. Это происходит потому, что в устной речи прослеживается тенденция к сокращению отдельных частей слова и некоторых сложных звуков, в число которых входят йотированные согласные.

Ошибочное употребление местоимения ей вместо ею приводит к нарушению связи управления в предложении, а значит, к несогласованности его отдельных фрагментов и логическим ошибкам в построении фразы.
Дочь у меня умница, ею (кем?) вся семья гордится.
Пришли девчонку, ей (кому? или кем?) заинтересовались приезжие.
Правильно писать и употреблять в речи местоимения в той падежной форме, которая соответствует вопросу, поставленному от глагола:
заинтересовались (кем?) ею – творительный падеж.
Косвенные падежи местоимения она не совпадают:
Падеж
Вопросы падежа
Форма местоимения она
Именительный
кто? что?
она
Родительный
кого? чего?
ее
Дательный
кому? чему?
ей
Винительный
кого? что?
ее
Творительный
кем? чем?
ею
Предложный
о ком? о чем
(о) ней
По правилам русского языка, регулирующим построение синтаксических конструкций и правописание частей речи, в предложении форма творительного падежа местоимения она не может замещаться формой дательного падежа.
Когда ей исполнилось пятнадцать, увлечение музыкой стало казаться смыслом жизни. (Дательный падеж)
Старики не могли нарадоваться ею. (Творительный падеж)

ImGist дает следующие рекомендации по правописанию и употреблению в предложении падежных форм ей и ею:

В предложении форма местоимения ей должна соответствовать вопросам дательного падежа кому? или чему?
В творительном падеже местоимение она отвечает на вопросы кем? или чем?, имеет падежную форму ею и не может быть заменено формой дательного падежа.